Karte und Kroki 4
Bei sehr großen Entfernungen reicht selbst Heliotroplicht nicht
aus; man verwendet dann elektrische Signale (z. B. bei der
Verbindungstriangulation Europa--Afrika).
§ 7. =Die Berechnung.= Zunächst wird die schräg gemessene Basislänge
auf den Messungshorizont und dann auf den Meeresspiegel reduziert.
Mit dieser Basis wird weiter aus dem Basisnetz die Länge einer
Dreiecksseite berechnet. Ferner werden in den einzelnen Dreiecken
die Winkel auf 180° + _E_ abgestimmt (ausgeglichen), wobei _E_ den
sphärischen Exzeß bezeichnet. Durch Berechnungen, die im wesentlichen
auf dem Sinussatz beruhen, werden dann die einzelnen Längen der
Dreiecksseiten berechnet. Es ist nun zunächst die Aufgabe der
Triangulation, der auf sie folgenden topographischen Meßtischaufnahme
als _Unterlage_ die _geographischen Koordinaten_ (Länge und Breite)
der trigonometrischen Punkte zu geben. Dazu braucht man aber die
Länge und Breite eines Anfangspunktes und weiter die Neigung (das
Azimut) einer Anfangsseite gegen die astronomische Nordrichtung. Die
Bestimmung geschieht in beiden Fällen auf astronomischem Wege. Als
Anfangspunkt galt bisher für Preußen der Punkt _Rauenberg_ bei Berlin
und als Anfangsneigung die der Seite _Rauenberg_--_Marienkirche_. Für
den Rauenberg soll der _Telegraphenberg_ bei Potsdam eintreten. Mit
diesen Elementen werden dann durch »_geodätische Übertragung_« die
geographischen Koordinaten der anderen Punkte des Netzes berechnet. Ein
einfaches Beispiel aus der Geometrie der Ebene möge die Berechnungen
andeuten (Fig. 13).
[Illustration: Fig. 13.]
Es sei _A_ Nullpunkt (Anfangspunkt) des rechtwinkligen ebenen
Achsensystems, die + _X_-Achse (Abszissenachse) sei nach Norden, die
+ _Y_-Achse (Ordinatenachse) sei nach Osten gerichtet. Dann sind die
ebenen Koordinaten von _B_:
_y_b_ = _s_ ∙ sin α, _x_b_ = _s_ ∙ cos α.
Die Strecke _s_ und die Neigung α mögen gegeben sein. Bei der
Triangulation sind die Seiten _s_ aus der Berechnung der Dreiecke
bekannt, α als Anfangsneigung wird astronomisch bestimmt, ebenso sind
die geographischen Koordinaten von _A_ astronomisch bestimmt. Die
Neigungen der folgenden Seiten werden mit Hilfe der gemessenen Winkel
berechnet. Die geographischen Koordinaten der Punkte werden von der
Landesaufnahme auf drei und vier Stellen nach dem Komma in der Sekunde,
also auf 1/1000´´ und 1/10000´´, angegeben, d. h. auf einige Zentimeter
genau; denn 1´´ entspricht einer Länge von 31 m, z. B. Sternwarte
Berlin:
Breite 52° 30´ 16,6813´´
Länge 31° 03´ 41,2489´´ östl. von Ferro.
Greenwich liegt 17° 39´ 57,6´´ östl. von Ferro.
Seit 1865 sind von der trigonometrischen Abteilung rund 69000
trigonometrische Punkte bestimmt worden. Auf 100 qkm entfallen rund 20
Punkte.
[Illustration: Fig. 14.]
Für die Wissenschaft hat die Triangulation den Zweck, die Figur und
Größe der mathematischen Erdoberfläche zu bestimmen. Wir wissen heute,
daß die Erdfigur, dargestellt durch die Meeresoberfläche, ein an den
Polen abgeplattetes Rotationsellipsoid ist (Fig. 14). Die Punkte
1 und 2 mögen in der Nähe des Äquators, die Punkte 3 und 4 nahe am
Pol liegen. Die Polhöhenunterschiede Δφ und Δψ betragen rund 1°.
Dann müssen bei einer _Ellipse_ (Ellipsoidschnitt im Meridian) die
zugehörigen Bogen _M_ und _m_ ungleich sein: _M_ > _m_, denn bei _W_
ist die Krümmung der Kurve stärker wie bei _N_. Der Krümmungsradius
_r_ ist demnach < als _R_. Für den Krümmungsradius gibt es bestimmte
Formeln, in denen die Halbachse _a_ und die numerische Exzentrizität
_e_ = √((_a²_ – _b²_)/_a²_) vorkommen. _b_ ist dabei die kleine
Halbachse der Ellipse. Drückt man _r_ und _R_ durch _m_ und _M_ und
die Winkel Δφ und Δψ aus, dann erhält man zwei Gleichungen mit den
Unbekannten _a_ und _e_, die man also berechnen kann, denn _M_ und _m_
sind aus Triangulationen als Längen zwischen zwei Punkten im Meridian
bekannt, die um 1° in _Breite_ auseinanderliegen. Man nennt derartige
Messungen deshalb auch Breitengradmessungen. Um die Streitfrage über
die Erdgestalt einwandfrei zu lösen, wurde 1735--41 unter Bougner
eine Expedition nach Peru und 1736--37 eine andere unter Celsius und
Clairaut nach Lappland ausgerüstet, die feststellten, daß in Peru
in – 1° 31´ mittlerer Breite ein Gradbogen 56736 Toisen (1 Toise =
1,949 m), in Lappland unter + 66° 20´ mittlerer Breite 57438 Toisen
lang sei. Damit war die Ellipsoidgestalt der Erde erwiesen und auch
Übereinstimmung erzielt mit der Gravitationstheorie von Newton und
Huygens. Es ist klar, daß die Bestimmung von _a_, _e_ und _b_, d. h.
der grundlegenden Dimensionen des Erdellipsoids, um so genauer wird,
je mehr Gradmessungen an verschiedenen Punkten der Erdoberfläche
ausgeführt werden. Als solche sind noch zu nennen: die Gradmessungen
in Ostindien (1790, 1802), in Frankreich 1792--1808 zur Einführung
des metrischen Maßsystems, in England 1783, in Hannover durch Gauß
1821--23, in Dänemark 1816 durch Schumacher, in Ostpreußen 1831--38
durch Bessel und Baeyer, in Rußland durch Struve 1821--31. Alle diese
Messungen vereinigte Bessel, um seine _Dimensionen_ zu berechnen. Nach
ihm ist:
_a_ = 6377397 m.
_b_ = 6356079 m.
Exzentrizität _e_ = 0,081697.
Abplattung _p_ = ¹/₂₉₉ = (_a_ – _b_)/_a_.
Meridianquadrant = 10000856 m.
Ein Äquatorgradbogen = 111307 m.
Eine geographische Meile = ¹/₁₅ Äquatorgrad = 7420 m.
Radius der Erde = 6370 km.
Nach den neuesten Forschungen von Helmert (Potsdam) und Hayford
(Nordamerika) ergeben sich unter Benutzung von Schweremessungen
_p_ = 1/297, _a_ = 6378388 m, _b_ = 6356909 m
als _zurzeit beste Werte_.
§ 8. =Die grundlegenden Höhenbestimmungen.= Die trigonometrische
Abteilung der Landesaufnahme hat außer der Triangulation auch noch
die grundlegende Höhenmessung auszuführen. Über das ganze Land
wird ein Haupthöhennetz gelegt, bestehend aus einer Anzahl von
geschlossenen _Schleifen_ von je 300--400 km Umfang. Die einzelnen
Höhen- oder Nivellierzüge folgen Straßen und Eisenbahnen. Innerhalb
der Züge sowie in den Knotenpunkten sind in Entfernungen von 2 km
Höhenfestpunkte angebracht und durch besondere Marken (eiserne Bolzen)
auf Säulen und an Gebäuden dauernd bezeichnet. Ihre Höhen über dem
Meereshorizont, über NN (Normal-Null), sind durch geometrisches
Nivellement bestimmt. Diese Normal-Nullfläche oder der Landeshorizont
wurde 1879 dauernd festgelegt durch einen an der Sternwarte in
Berlin angebrachten _Normalhöhenpunkt_, dessen Höhe zu 37 m über dem
Nullpunkt des Amsterdamer Pegels bestimmt wurde. Nach Abbruch der
Sternwarte wurde der Normalhöhenpunkt 1912 durch fünf Punkte auf der
Chaussee Berlin--Manschnow ersetzt. Die Normal-Nullfläche würde also
37 m unter dem Normalhöhenpunkt liegen, sehr angenähert durch den
Amsterdamer Pegel gehen und allgemein übereinstimmen mit dem Spiegel
der norddeutschen Meere.
[Illustration: Fig. 15 a.]
[Illustration: Fig. 15 b.]
Zur Ausführung der geometrischen Nivellements wird ein
Nivellierinstrument benutzt, dessen Grundform Fig. 15 a und b in
Schnitt und Ansicht zeigen.[2] In der Büchse des Dreifußes _c_ steckt
mit einem Zapfen _f_ der Oberbau mit dem Fernrohrträger _f₁_, dem
Fernrohr und der Libelle _l_, die entweder mit dem Fernrohr oder mit
dem Träger verbunden oder vom Fernrohr abnehmbar ist. Man unterscheidet
Instrumente 1. mit festem Fernrohr, d. h. dieses ist mitsamt der
Libelle fest mit dem Zapfen verbunden; 2. mit festem, aber kippbarem
Fernrohr, d. h. es läßt sich samt Libelle mit einer Kippschraube um
eine horizontale Achse bewegen; 3. mit in den Lagern um seine Achse
drehbarem oder umlegbarem Fernrohr mit oder ohne Kippschraube mit
Wendelibelle (doppelseitig geschliffen) oder abnehmbarer Aufsatzlibelle
(Reiterlibelle).
Die Hauptbedingung für die Justierung des Instruments ist: bei
einspielender Libelle soll die Zielachse _Z_--_Z₁_ horizontal sein.
Bei der ersten Form würde noch hinzutreten, daß bei einspielender
Libelle, also horizontaler Libellenachse, der Zapfen (die Stehachse)
_V_--_V₁_ nahezu lotrecht sein muß. Dazu bringt man das Fernrohr mit
Libelle über eine Fußschraube, läßt mit derselben die Luftblase
einspielen, dreht das Fernrohr um 180° und beseitigt den sich
zeigenden Ausschlag zur Hälfte mit der Fußschraube, zur anderen
Hälfte mit den Justierschräubchen der Libelle. Dann stellt man das
Fernrohr parallel zu den beiden anderen Fußschrauben und bringt mit
denselben die Luftblase zum Einspielen. Um nun die Zielachse parallel
der Libellenachse, also horizontal zu stellen, bestimmt man bei
einspielender Libelle den Höhenunterschied Δ_h_ zweier Punkte (Pfähle)
_A_ und _B_ von der _Mitte_ (_M_) aus, also fehlerfrei, durch die
Differenz der Ablesungen _a_m_ und _b_m_ an einer in diesen Punkten
jedesmal lotrecht aufgestellten Nivellierlatte. Dann geht man mit dem
Instrument möglichst nahe an den Punkt _B_ heran und macht an der
eingeteilten Nivellierlatte in _B_ die Ablesung _b₁_ bei einspielender
Libelle; _b₁_ gilt für horizontale Zielachse, weil der Einfluß einer
Neigung derselben wegen der kurzen Entfernung unbedeutend ist. Dann ist
die _Sollablesung_ _a₁_ für den Punkt _A_ bei horizontaler Zielachse
_a₁_ = _a_m_ – _b_m_ + _b₁_,
denn es soll sein
_a₁_ – _b₁_ = _a_m_ – _b_m_ = Δ_h_.
Auf die aus dieser Gleichung errechnete Ablesung _a₁_ an der Latte in
_A_ wird nun der horizontale Faden des Fadenkreuzes durch vertikales
Verschieben des Diaphragmas mit den Diaphragmaschräubchen eingestellt.
Die Justierung der anderen Formen läuft auf die Hauptbedingung hinaus
und soll hier nicht erörtert werden.[3] Es ist wichtig hervorzuheben,
daß durch Nivellieren aus der Mitte, also durch Einhalten gleicher
Zielweiten, der Fehler des Nichtparallelismus von Ziel- und
Libellenachse aufgehoben wird, ebenso wie der Einfluß der Erdkrümmung.
Damit ist nun auch der Zweck des Nivellierens gegeben: es handelt
sich darum, durch fortlaufende Bestimmung von Höhenunterschieden
im Anschluß an einen gegebenen Ausgangspunkt (Festpunkt) die Höhe
von Punkten über NN durch ein _Festpunktnivellement_ oder auch die
Lage von Punkten durch ein _Längennivellement_ zu finden. Durch
besondere Nivelliermethoden und Instrumente wird die Genauigkeit der
Nivellements erhöht und z. B. von der Landesaufnahme ein _mittlerer_
Fehler von weniger als ± 1 mm für 1 km erreicht.
KAPITEL 2. DIE TOPOGRAPHISCHEN ARBEITEN
[Illustration: Fig. 16.]
§ 9. =Die vorbereitenden Arbeiten.= =Das Gradnetz.= Im Anschluß an
die Punkte des trigonometrischen Netzes wird die topographische
Aufnahme ausgeführt. Sie erfolgt mit dem Meßtisch. Derselbe wurde
1590 von Praetorius aus Altdorf bei Nürnberg erfunden und besteht
im wesentlichen aus dem Stativ mit Dreifuß, der Meßtischplatte und
der Kippregel, d. h. einem Lineal mit Fernrohr und Gradbogen nebst
Röhrenlibelle. Als Hilfsinstrumente kommen hinzu: eine Dosenlibelle
und eine Bussole in Form eines länglichen Kästchens (Fig. 16). Der
Dreifuß des Stativs trägt eine Scheibe, auf der die Meßtischplatte
mit drei Schrauben befestigt wird. Der Bogen des Meßtischblattes wird
auf der Unterseite mit geschlagenem Eiweiß gleichmäßig angefeuchtet
und mit seinen überstehenden Rändern an den Seitenflächen der Platte
durch Leim befestigt, nachdem er vorher mit einem Tuch glatt gestrichen
wurde. Das Aufspannen geschieht bereits ein bis zwei Monate vor Beginn
der Feldarbeit. Jedes Blatt umfaßt in 1 : 25000 10 Längenminuten
in Breite und 6 Breitenminuten in Höhe. Mithin entfallen auf einen
Grad 60 Blätter (Gradabteilungskarten). Ein Blatt hat etwa 48 cm
Seitenlänge und etwa 124 qkm Inhalt in 52½° nördl. Breite. Die Zahl
der Meßtischblätter für Preußen beträgt 3699. Bei 1 : 100000 hat
jedes Blatt 15 Breitenminuten Höhe und 30 Längenminuten Breite.
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